คณิตศาสตร์

วันเสาร์ที่ 29 กรกฎาคม พ.ศ. 2560

ฟังก์ชันขั้นบันได

ฟังก์ชันขั้นบันได หมายถึง ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นสับเซตของจำนวนจริง และมีค่าของฟังก์ชันเป็นค่าคงตัวเป็นช่วงๆ มากกว่าสองช่วง กราฟของฟังก์ชันนี้มีลักษณะคล้ายขั้นบัน อ่านต่อ

ฟังก์ชันกำลังสอง คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax² + bx + c เมื่อ a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ และ a ≠ 0 ลักษณะของกราฟของฟังก์ชันนี้ขึ้นอยู่กับค่าของ a , b และ c และเมื่อค่าของ a เป็นบวกหรือลบ จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ

จากรูปจะเห็นว่า ถ้า a > 0 กราฟเป็นเส้นโค้งหงายขึ้น

a < 0 กราฟเป็นเส้นโค้งคว่ำลง

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองในรูปนี้มีชื่อว่า พาราโบลา

ในกรณีทั่วไป กราฟของ y = a(x-h)² + k , a ≠ 0 จะมีจุดที่กราฟวกกลับดังนี้

f(x) = a(x-h)² + k , a > 0

จากรูปกราฟของ f มีจุดวกกลับที่จุด (h,k) ซึ่งเป็นจุดที่ f(x) มีค่าต่ำสุด และ f(h) = k เป็นค่าต่ำสุดของ f

f(x) = a(x-h)² + k , a < 0

4.2 ฟังก์ชันเชิงเส้น

ฟังก์ชันเชิงเส้น คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax+b เมื่อ a ,b เป็นจำนวนจริง และ กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง

ตัวอย่างของฟังก์ชันเชิงเส้น ได้แก่

1) y = x

2) y =2x +1

วันอาทิตย์ที่ 16 กรกฎาคม พ.ศ. 2560

4.1 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง

(การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B

สัญลักษณ์ ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B
หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า

ความสัมพันธ์ (Relation)r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B

โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)

โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ rใช้สัญลักษณ์แทนด้วย Dr ดังนั้น Dr = {x | (x, y) ε r}
เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R rดังนั้น Rr = {y | (x, y) ε r}

หลักเกณฑ์ในการพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ในความสัมพันธ์ R

3.5 ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง

3.5 ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง หรือ มอดุลัส (อังกฤษ: absolute value หรือ modulus) ในคณิตศาสตร์ คือ ผลต่างระหว่างจำนวนนั้นกับ 0 พูดง่ายๆคือ จำนวนที่ไม่มีเครื่องหมายลบ ตัวอย่างเช่น 3 คือค่าสัมบูรณ์ของ 3 และ −3

นิยามได้ดังนี้: สำหรับจำนวนจริงใดๆ a, ค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วย |a| เท่ากับ a ถ้า a ≥ 0 และเท่ากับ −a ถ้า a < 0 (ดูเพิ่มเติม: อสมการ) |a| จะไม่เป็นจำนวนลบ ค่าสัมบูรณ์จะเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ นั่นคือจะไม่มีค่า a ที่ |a| < 0

ค่าสัมบูรณ์สามารถถือว่าเป็นระยะทางของจำนวนนั้นจากศูนย์ สัญกรณ์ของระยะทางในคณิตศาสตร์มักเขียนในรูปค่าสัมบูรณ์อยู่เสมอ เมื่อจำนวนจริงถูกพิจารณาเหมือนเป็นเวกเตอร์หนึ่งมิติ ค่าสัมบูรณ์คือขนาด และ p-นอร์มสำหรับ p ใดๆ ที่ตัวประกอบคงที่ ทุกๆนอร์มใน R¹ จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์: ||x||=||1||.|x|

ผลการค้นหารูปภาพสำหรับ ค่าสัมบูรณ์เท่ากัน

3.4 การไม่เท่ากัน

สมบัติของการไม่เท่ากัน

บทนิยาม a < b หมายถึง a น้อยกว่า b

a > b หมายถึง a มากกว่า b

• สมบัติของการไม่เท่ากัน

กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c

2. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c

3. จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ

a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0

a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0

4. สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์

ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc

ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

5. สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b

6. สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ

ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b

ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

บทนิยาม a ≤ b หมายถึง a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b

a ≥ b หมายถึง a มากกว่าหรือเท่ากับ b

a < b < c หมายถึง a < b และ b < c

a ≤ b ≤ c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c

3.3.2 การเเก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

3.3.2 การเเก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (quadratic equations) คือ สมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 บางครั้งเรียกสมการกำลังสองว่า สมการดีกรี 2 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสอง คือ
……………………. $ax^2 + bx + c = 0$
….. เมื่อ $a, b, c$ เป็นค่าคงตัว และ $a \not= 0$

…..การแก้สมการกำลังสอง หมายถึง การคำนวณเพื่อหาค่าของตัวแปร ซึ่งจะได้ค่าตัวแปร 2 ค่า โดยค่าทั้งสองอาจเท่ากันหรือไม่เท่ากันก็ได้ ค่าของตัวแปรที่ได้บางครั้งเรียกว่า รากของสมการ หรือ คำตอบของสมการ
…..วิธีแก้สมการกำลังสอง ก่อนที่จะทำการคำนวณหาค่าตัวแปรของสมการกำลังสอง ให้จัดขวามือของเครื่องหมายเท่ากับให้เป็น 0 แล้วการคำนวณจะมีได้ 3 วิธี คือ โดยวิธีแยกตัวประกอบ โดยวิธีทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ และโดยวิธีใช้สูตร

…..การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีแยกตัวประกอบ
…..ทำได้โดยการแยกตัวประกอบ (factors) แล้วใช้หลักว่า เมื่อผลคูณของตัวประกอบเป็น 0 (ขวามือขอเครื่องหมายเท่ากับ) แสดงว่า ตัวประกอบบางตัวเป็น 0 หรือทุกตัวประกอบเป็น 0

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคำตอบของสมการ $x^2-4x+3 = 0$
วิธีทำ……….. $x^2-4x+3 = 0$
…………… $(x-3)(x-1) = 0$
…………………………….. $x = 1, 3$ ……….#

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ… $8x^2-2x=3$
วิธีทำ จัดขวามือของเครื่องหมายเท่ากับให้เป็น $0$
……………………. $8x^2 - 2x - 3 = 0$
……………….. $(4x-3)(2x+1) = 0$
……………………………………. $x =\frac{3}{4}$ , $-\frac{1}{2}$ ……….#

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ $12x^2+9 = 56x$
วิธีทำ……. $12x^2-56x+9 = 0$
………… $(6x-1)(2x-9) = 0$
……………………….. $x = \frac{1}{6}, \frac{9}{2}$ ……….#

ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ… $y^2=\frac{1}{6}y+2$
วิธีทำ จัดสมการใหม่ได้เป็น $y^2-\frac{y}{6}-2 = 0$
………. นำ $6$ มาคูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้
……………………. $6y^2 - y - 12 = 0$
……………………. $(3y+4)(2y-3) = 0$
……………………………………. $y =-\frac{4}{3}$ , $\frac{3}{2}$ ……….#

ตัวอย่างที่ 5 จงแก้สมการ… $x^2+\frac{1}{12}x-\frac{1}{2} = 0$
วิธีทำ …….. นำ $12$ มาคูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้
…………….. $12(x^2+\frac{1}{12}x-\frac{1}{2}) = 12\times 0$
……………………. $12x^2+x-6 = 0$
…………….. $(3x-2)(4x+3) = 0$
……………………………… $x = \frac{2}{3}, -\frac{3}{4}$ ……….#

ผลการค้นหารูปภาพสำหรับ การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

วันเสาร์ที่ 29 กรกฎาคม พ.ศ. 2560

ฟังก์ชันขั้นบันได

4.3 ฟังก์ชันกำลังสอง

4.3 ฟังก์ชันกำลังสอง

4.2 ฟังก์ชันเชิงเส้น

วันอาทิตย์ที่ 16 กรกฎาคม พ.ศ. 2560

4.1 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

4.1 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

หลักเกณฑ์ในการพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ในความสัมพันธ์ R

3.5 ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง

3.4 การไม่เท่ากัน

3.3.2 การเเก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว