3.2.2 การบวกและการคูณในระบบจำนวนจริง
จำนวนตรรกยะ (rational number) เป็นจำนวนจริงที่สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ และเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้
จำนวนอตรรกยะ (irrational number) เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะซึ่งไม่สามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์แต่เขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ และ
สามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้
การเขียนเศษส่วนในรูปทศนิยม คือ การนำส่วนไปหารเศษ
การเขียนทศนิยมในรูปเศษส่วน คือ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง หารด้วย 10 2 ตำแหน่งหาร 100 ไปเรื่อยๆๆๆๆ แต่ถ้าเป็นทศนิยมซ้ำ ใช้วิธีลัด เช่น 0.45• = 45-4/90 = 41/90
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าจำนวนต่อไปนี้เป็นจำนวนชนิดใดโดยใส่เครื่องหมาย / ลงในช่องให้ถูกต้อง
| จำนวน | จำนวนเต็มลบ | จำนวนเต็มบวก | จำนวนคู่ | จำนวนคี่ | จำนวนตรรกยะ | จำนวนอตรรกยะ |
2
|
/
|
/
|
/
| |||
-7/2
|
/
| |||||
– 5
|
/
|
/
|
/
| |||
6
|
/
|
/
|
/
| |||
| 2/5 |
/
| |||||
-√2
|
/
| |||||
∏
|
/
| |||||
2 +√4
|
/
|
/
|
/
| |||
3 +√5
|
/
| |||||
1.462…
|
/
| |||||
5.46
|
/
|
สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ มีดังนี้
1. สมบัติปิด
2. สมบัติการสลับที่
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม
4. สมบัติการมีเอกลักษณ์
5. สมบัติการมีอินเวอร์ส
6. สมบัติการแจกแจง
สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวก
1. สมบัติปิดของการบวก
ถ้า a ε R และ b ε R แล้ว a + b ε R
เช่น ถ้า 4 , 5 ε R แล้ว 4 + 5 = 9 ซึ่ง 9 ε R ด้วย
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก
ถ้า a ε R และ b ε R แล้ว a + b = b + a
เช่น 2 + 3 = 3 + 2
3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการบวก
ถ้า a ε R , b ε R และ c R แล้ว a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
เช่น 2 + ( 4 + 5 ) = ( 2 + 4 ) + 5
4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก
จำนวนจริงที่นำมาบวกกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ a เรียกจำนวนจริงที่นำมาบวกว่าเอกลักษณ์การบวก ในระบบจำนวนจริงมีเอกลักษณ์การบวกจำนวนเดียว คือ 0
เช่น 2 + 0 = 2 = 0 + 2
5. สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก
จำนวนจริงที่บวกกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ 0 คือ – a
เรียก – a ว่าเป็นอินเวอร์สการบวกของ a
เช่น ( – 5 ) + 5 = 0 = 5 + ( – 5)
สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการคูณ
1. สมบัติปิดของการคูณ
ถ้า a ε R และ b ε R แล้ว a υ b ε R
เช่น 3 ε R แล้ว 4 ε R แล้ว 3 υ 4 = 12 ซึ่ง 12 υ R
2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ
ถ้า a และ b ε R แล้ว a υ b = b υ a
เช่น 2 ε R และ 3 ε R แล้ว 2 υ 3 = 3 υ 2
3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการคูณ
ถ้า a , b และ c ε R แล้ว ( ab ) c = a ( b c )
เช่น 2 , 3 และ 4 ε R แล้ว ( 2 3 ) 4 = 2 ( 34 )
4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ
จำนวนจริงที่นำมาคูณกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ a เรียกจำนวนจริงที่นำมาคูณว่าเอกลักษณ์การคูณ ในระบบจำนวนจริงมีเอกลักษณ์การคูณจำนวนเดียว คือ 1
เช่น 1 3 = 3 = 31
5. สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ
จำนวนที่คูณกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 1 คือ a– 1 เรียก a– 1 ว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a
เช่น 4 × 4 – 1 = 4 × 1/4 = = 1 ดังนั้น 4 – 1 หรือ 1/4 เป็นอินเวอร์สการคูณของ 4
หรือ 4 × 4 – 1 = 4 1 +( -1 ) = 4 0 = 1
ตัวอย่างของอินเวอร์สการบวกของจำนวนจริง
1. อินเวอร์สการบวกของ 5 คือ – 5
2. อินเวอร์สการบวกของ 0.3 คือ – 0.3
3. อินเวอร์สการบวกของ – √3 คือ √3
4. อินเวอร์สการบวกของ 2∏ คือ – 2∏
5. อินเวอร์สการบวกของ 1/2 – 1/3 คือ – (1/2-1/3)
6. อินเวอร์สการบวกของ 0.1 คือ – 0.1
7. อินเวอร์สการบวกของ – 1/4 คือ 1/4
8. อินเวอร์สการบวกของ -1+√2/2 คือ – (-1+√2/2) หรือ
ตัวอย่างของอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง
1. อินเวอร์สการคูณของ √2/5 คือ 5/√2
2. อินเวอร์สการคูณของ -25 คือ -1/25
3. อินเวอร์สการคูณของ √3-5√2 คือ 1/√3-5√2
4. อินเวอร์สการคูณของ abc คือ – abc
5. อินเวอร์สการคูณของ – 14/3 คือ – 3/
6. อินเวอร์สการคูณของ a + b คือ 1/a + b
7. อินเวอร์สการคูณของ -a-b-c คือ 1/ -a-b-c
8. อินเวอร์สการคูณของ a-2b/2 คือ 2/a-2b
6. สมบัติการแจกแจง
ถ้า a , b และ c ε R แล้ว a ( b + c ) = a b + ac และ ( b + c ) a = ba + ca
เช่น 2 , 3 และ 4 ε R แล้ว 2 ( 3 + 4) = ( 2υ 3 ) + ( 2υ4 )
หรือ ( 3 + 4 ) 2 = ( 3υ2 ) + ( 4υ2 )
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น